ISTILAH NOTASI DAN PENYAJIAN HIMPUNAN

Animasi Blog

Animasi Blog

1.    Pengertian Himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabang

matematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

2.    Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”. Sementara itu untuk

melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya

sekali saja. Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “ ϵ ” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing “ ϵ ” (baca: bukan anggota).

3.    Penyajian Himpunan

Himpunan dapat disajikan dengan cara:

1.    Enumerasi

Mengenumerasi artinya menuliskan semua anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.

Contoh:

a.     N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}

b.    P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}

c.     H adalah himpunan pancaindra manusia disajikan dengan
H = {penciuman, perasa, pendengaran, penglihatan, peraba}

d.     A adalah himpunan bilangan asli disajikan dengan
A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

e.     B adalah himpunan bilangan bulat disajikan dengan
B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

2.    Simbol-simbol Baku

Terdapat symbol baku yang berbentuk huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan

Contoh:

a.     P = {himpunan bilangan bulat positif} = {1,2,3,…}

b.    N = {himpunan bilangan asli} = {1,2,..}

c.     Z = {himpunan bilangan bulat} = {…,-2,-1,0,1,2,..}

d.    Q = {himpunan bilangan rasional}

e.     R = himpunan bilangan riil

f.      C = himpunan bilangan kompleks

3.    Notasi pembentuk himpunan

 Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk {x | x bersifat R}.

Contoh :

a.     Himpunan P di atas disajikan dengan

P = {x | x adalah bilangan bulat positif}

b.    Himpunan N di atas disajikan dengan

N = {x | x adalah bilangan asli}

c.     Himpunan Z di atas disajikan dengan

Z = {x | x adalah bilangan bulat

Sumber : Munir,Rinaldi. 2009. Matematika Diskrit. Bandung

Matematika

MATEMATIKA

My Widget

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Matematika

My Widget

My Widget

MATEMATIKA

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

KALKULUS

My Widget

1.         Sistem bilangan riil

Kalkulus di dasarkan pada sisitem bilangan riil dan sifat – sifatnya. Tetapi apakah bilangan riil itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawab kita mulai dengan beberapa sistem bilangan yang lebih sedehana.

BILANGAN – BILANGAN  BULAT  DAN RASIONAL . Di antara sistem bilangan,yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli,

1, 2, 3, 4, 5, 6, ..............

Dengan bilangan ini kita dapat menghitung : bubu-buku kita, teman-teman kita, dan uang kita. Jika kita gandengkan negatifnya dengan nol, kita peroleh bilangan-bilangan bulat :

........., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..........

Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat atau tegangan listrik ,bilangan-bilangan bulat tidak memadai . bilangan ini terlalu kurang untuk memberikan ketelitian yang cukup. Kita di tuntun untuk juga mempertimbangkan hasil bagi(rasio) dari bilangan-bilangan  yaitu bilangan-bilangan seperti :

3/4 ,-7/8  ,21/5  , 19/-2,16/2  , dan -17/1

 

Perhatikan bahwa kita menyertakan   dan  walaupun secara normal kita menuliskannya sebagai 8 dan -17, karena sesuai dengan arti pembagian yang biasa mereka sama dengan yang belakangan. Kita tidak  menyertakan  atau , karena tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini. Marilah kita bersepakat untuk seterusnya membuang pembagian oleh nol. Bilangan-bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk    ,di mana m dan n adalah bilangan-bilangan bulat dengan n ≠ 0 , di sebut bilangan-bilangan rasional .

                                                               

Apakah bilangan-bilangan rasional berpungsi mengukur ssemua panjang? Tidak . fakta yang ni di temukan oleh orang yunani kuno beberapa abad sebelum masehi . mereka memperlihatkan bahwa meskipun   merupakan panjang sisi-miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisi 1,bilangan ini tidak dapat di tuliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan tak-rasional.

                                                                           

BILANGAN-BILANGAN RIIL. Sekumpulan bilangan  (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan bilangan-bilangan riil.

Bilangan-bilangan riil dapat dipandang sebagai pengenal (label) untuk titik-titik  sepanjang sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titik asal dan diberi label 0. Walaupun kita tidak mungkin memperlihatkan semua label itu, tiap titik memang mempunyai sebuah label tunggal bilangan rill. Bilangan ini disebut koordinat titik tersebut. Dan garis koordinat yang dihasilkan diacu sebagai garis riil.

 

-

Terdapat lambang-lambang baku untuk mengenali kelas-kelas bilangan yang sejauh ini telah dibahas. Mulai sekarang, N akan menyatakan himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif), Z (dari bahasa Jerman,Zahlen) akan menyatakan himpunan bilangan bulat, Q (hasil bagi bilangan bulat) menyatakan himpunan bilangan rasional, dan R himpunan bilangan riil.

Hampir semua mahasiswa akan ingat bahwa sistem bilangan masih dapat diperluas lebih  a+b , dimana a dan b adalah bilangan-bilangan riil. Bilangan-bilangan kompleks akan jarang dipakai dalam buku ini. Kenyataannya, jika kita mengatakan bilangan tanpa penjelasan khusus, anda dapat menganggap bahwa yang dimaksudkan adalah bilangan riil. Bilangan-bilangan riil merupakan ciri utama dalam kalkulus.

EMPAT OPERASI HITUNGAN Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan riil baru x+y dan xy. Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah dikenal berikut. Selanjutnya kita menyebutnya sifat-sifat medan.

               

Sifat – sifat medan  Hukum komutatif  x + y = y + x dan xy = yx  Hukum asosiatif x + (y+z) = (x + y) + z dan x (yz) = (xy)z  Hukum distribusi x (y +z) = xy + xz  Elemen- elemen identitas .terdapat dua bilangan rill yang berlainan 0 dan 1 yang   memenuhi x + 0 = x dan x.1= x Balikan ( invers ). Setiap bilangan x mempunyai bilangan aditif  ( di sebut juga sebuah negatif ) –x, yang mmenuhi x + (-x)= 0 . juga, setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian ( di sebut juga kebalikan ) x-1  yang memenuhi x . x-1 =1